## Logiksynthese und -minimierung
- #### **Deduzierte Schaltungen lassen sich nicht effizient "von Hand entwickeln"**
-> Wir brauchen Methodik für Schaltkreissynthese
- #### **Logiksynthese und -minimierung: Versuch, Logik der Schaltung:**
- zu generieren bzw.
- zu minimieren
- #### **Unterscheidung zwischen:**
- **kombinatorischer Synthese** (Realisierung einer Booleschen Funktion)
- **sequentieller Synthese** (Realisierung eines endlichen **Automaten**; kann als Boolesche Funktion repräsentiert werden)
- #### Ausgangspunkt: Funktionsbeschreibung (Wahrheitstabelle, Boolescher Ausdruck, ... )
## Wdhlg. : Synthese (simpel)
- #### Realisierung beliebiger Wahrheitstabellen durch **Grundgatter möglich
- #### Vorgehen:
- Für jede Zeile mit Ausgabewert 1:
Und-Gatter mit passender Eingangsbeschaltung
- Oder-Verknüpfung aller Und-Gatter
- ### Funktioniert für alle Tabellen, aber
- teuer
- nicht skalierbar
![[20260119_kmaps_260129_183719.jpg]]
## Weitere Grundlagen
- #### Die Booleschen Ausdrücke xi und xi' heißen Literale
- xi ist positives Literal
- xi' ist negatives Literal
- #### Eine Konjunktion von Literalen heißt Monom, wenn:
- jedes Literal kommt höchstens einmal vor
- es kommt nicht sowohl das positive als auch das negative Literal einer Variable vor
- Monome: **x1x2x3, x1x2x3'
- #### Ein Monom heißt vollständig oder Minterm, wenn jede Variable entweder als positives oder als negatives Literal vorkommt
- #### Eine Disjunktion von paarweise verschiedenen Monomen heißt Polynom. Sind alle Monome des Polynoms vollständig, so heißt das Polynom vollständig
- #### Eine Boolesche Funktion ist von ihrer Darstellung als Formel zu unterschieden
- Die Interpretationsfunktion $\psi$ weist einer Formel die entsprechende Funktion zu
- $f = (a+b) * c$ und $g = a * c + b * c$ sind unterschiedliche Formeln aber $\psi(f) = \psi(g)$
## Logiktoptimierung
- #### Gegeben: Eine Boolesche Funktion $f$
- #### Ziel: Darstellung von $f$ als Minimalpolynom $p$, das heißt ein Polynom sodass gilt:
- $\psi(p) = f$
- Die Anzahl an Monomen in $p$ ist **minimal**
- Die Anzahl der Literale in $p$ ist **minimal**
- #### Idee: $x_1x_2x_3 + x_1x_2\bar{x_3} = x_1x_2$
- Die Belegung von $x_3$ hate keinen Einfluss auf den Wahrheitswert des Polynoms
- $x_1x_2$ ist ein sogenannter Implikant von $x_1x_2x_3 + x_1x_2\bar{x_3}$
- #### Allgemein: Ein Monom(!) $q$ ist ein Implikant der Funktion $f$ falls $\psi(q) \leq f$
Das bedeutet das der Implikant kleiner oder optimierter als der Funktion ist
- #### Ein Primimplikant von f ist ein maximaler Implikant $q$ von $f$, d.h. es gibt keinen Implikanten $s(s \neq q)$
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