Obsidian_Informatik/Semester 1/ERA/Vorlesung 24 - K-Maps.md

Logiksynthese und -minimierung

• Deduzierte Schaltungen lassen sich nicht effizient "von Hand entwickeln"

  -> Wir brauchen Methodik für Schaltkreissynthese

• Logiksynthese und -minimierung: Versuch, Logik der Schaltung:

  • zu generieren bzw.
  • zu minimieren

• Unterscheidung zwischen:

  • kombinatorischer Synthese (Realisierung einer Booleschen Funktion)
  • sequentieller Synthese (Realisierung eines endlichen Automaten; kann als Boolesche Funktion repräsentiert werden)

• Ausgangspunkt: Funktionsbeschreibung (Wahrheitstabelle, Boolescher Ausdruck, ... )

Wdhlg. : Synthese (simpel)

• Realisierung beliebiger Wahrheitstabellen durch **Grundgatter möglich

• Vorgehen:

  • Für jede Zeile mit Ausgabewert 1: Und-Gatter mit passender Eingangsbeschaltung
  • Oder-Verknüpfung aller Und-Gatter

• Funktioniert für alle Tabellen, aber

  • teuer
  • nicht skalierbar !

Weitere Grundlagen

• Die Booleschen Ausdrücke x_i und x_i' heißen Literale

  • x_i ist positives Literal
  • x_i' ist negatives Literal

• Eine Konjunktion von Literalen heißt Monom, wenn:

  • jedes Literal kommt höchstens einmal vor
  • es kommt nicht sowohl das positive als auch das negative Literal einer Variable vor
  • Monome: **x₁x₂x₃, x₁x₂x₃'

• Ein Monom heißt vollständig oder Minterm, wenn jede Variable entweder als positives oder als negatives Literal vorkommt

• Eine Disjunktion von paarweise verschiedenen Monomen heißt Polynom. Sind alle Monome des Polynoms vollständig, so heißt das Polynom vollständig

• Eine Boolesche Funktion ist von ihrer Darstellung als Formel zu unterschieden

  • Die Interpretationsfunktion \psi weist einer Formel die entsprechende Funktion zu
  • f = (a+b) * c und g = a * c + b * c sind unterschiedliche Formeln aber \psi(f) = \psi(g)

Logiktoptimierung

• Gegeben: Eine Boolesche Funktion f

• Ziel: Darstellung von f als Minimalpolynom p, das heißt ein Polynom sodass gilt:

  • \psi(p) = f
  • Die Anzahl an Monomen in p ist minimal
  • Die Anzahl der Literale in p ist minimal

• Idee: x_1x_2x_3 + x_1x_2\bar{x_3} = x_1x_2

  • Die Belegung von x_3 hate keinen Einfluss auf den Wahrheitswert des Polynoms
  • x_1x_2 ist ein sogenannter Implikant von x_1x_2x_3 + x_1x_2\bar{x_3}

• Allgemein: Ein Monom(!) q ist ein Implikant der Funktion f falls \psi(q) \leq f

  Das bedeutet das der Implikant kleiner oder optimierter als der Funktion ist

  • Ein Primimplikant von f ist ein maximaler Implikant q von f, d.h. es gibt keinen Implikanten s(s \neq q)